В па­рал­ле­ло­грам­ме про­ве­де­ны бис­сек­три­сы про­ти­во­по­лож­ных углов. До­ка­жи­те, что от­рез­ки бис­сек­трис, за­клю­чен­ные внут­ри па­рал­ле­ло­грам­ма, равны.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Докажем данное утверждение.

Пусть $ABCD$ - параллелограмм, а $AE$ и $BF$ - биссектрисы углов $BAD$ и $BCD$ соответственно. Тогда $\angle BAE = \angle DAF$ и $\angle ABF = \angle BCF$.

Так как $AB \parallel DC$ и $AD \parallel BC$, то углы $DAB$ и $BCA$ также равны, а значит $AB = AD$ и $BC = CD$.

Рассмотрим треугольники $ABE$ и $BFD$. Угол $ABE$ равен углу $BFD$, так как они являются вертикальными. Угол $BAE$ равен углу $BDF$ по построению. Тогда по третьему углу углы $AEB$ и $DFB$ равны, поэтому данные треугольники подобны (по стороне-против угла).

Отсюда получаем, что $\dfrac{AE}{BF} = \dfrac{AB}{BD} = \dfrac{AD}{BC} = 1$. Следовательно, $AE = BF$.

Таким образом, отрезки биссектрис, заключенные внутри параллелограмма, равны.