В па­рал­ле­ло­грам­ме ABCD диа­го­на­ли AC и BD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке O. До­ка­жи­те, что пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD в че­ты­ре раза боль­ше пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка COD.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Из условия известно, что точка O — это точка пересечения диагоналей параллелограмма ABCD. Тогда треугольники AOC и BOD равны по площади, так как они имеют общее основание (диагональ AC равна диагонали BD) и равные высоты (потому что это высоты параллелограмма).

Таким образом, площадь треугольника AOC равна площади треугольника BOD, и обозначим эту площадь через S.

Площадь треугольника COD равна половине площади параллелограмма ABCD, так как у них общая высота (высота равна высоте параллелограмма) и общее основание (диагональ CO равна диагонали DO).

Таким образом, S = S1 + S2, где S1 — площадь треугольника AOC, S2 — площадь треугольника COD.

Но S = 2S1 (площадь треугольника AOC равна площади треугольника BOD), поэтому S = 2S1, откуда S1 = 0.5S.

Площадь треугольника COD равна 0.5S (половина площади параллелограмма ABCD), а площадь параллелограмма ABCD равна 4S (четыре треугольника AOC).

Таким образом, площадь параллелограмма ABCD в четыре раза больше площади треугольника COD.