1.Точка M лежит на стороне AB квадрата ABCD. Расстояния от точки M до прямых AC и BD равны соответственно 1 и 3. Найдите сумму длин диагоналей этого квадрата 2.Найдите площадь параллелограмма,острый угол которого равен 45, а перпендикуляр, опущенный из точки пересечения диагоналей на большую сторону, делит ее на отрезки длины 16см и 6см 3.Основания прямоугольной трапеции равны 10 и 5, а длина меньшей боковой стороны равна 12. Найдите длину большей боковой стороны этой трапеции

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть точка M делит диагональ AC на отрезки с длинами x и 1-x, а диагональ BD на отрезки с длинами y и 3-y. Так как точка M лежит на стороне AB, то x=y
Теперь по теореме Пифагора для треугольника AMC и треугольника BMD
x^2 + 1^2 = y^
y^2 + 3^2 = x^
Сложим оба уравнения
x^2 + 1 + y^2 + 9 = 2x^2 + 1
2(y^2) + 10 = 2(x^2
y^2 + 5 = x^
Так как x=y, то x^2 + y^2 = 1
А значит, сумма длин диагоналей квадрата равна 10.

Пусть точка пересечения диагоналей параллелограмма равна O. Пусть точка, в которой опущен перпендикуляр на большую сторону, равна M
Так как угол АОМ равен 45 градусам, то треугольник AOM является прямоугольным. Также, так как MO делит большую сторону на отрезки длины 16 и 6, то AM=16 и OM=6
Площадь параллелограмма равна произведению длины диагонали на половину расстояния между ее точками
Используя теорему Пифагора для треугольника AOM, получаем, что длина диагонали OA равна sqrt(16^2 + 6^2) = sqrt(256 + 36) = sqrt(292)
Теперь можно посчитать площадь параллелограмма
S = sqrt(292) 10 = 10sqrt(292) кв. см.

Пусть основания трапеции равны a=10 и b=5, а меньшая сторона равна c=12. Обозначим большую сторону как d
Используем теорему Пифагора для треугольника, образованного основаниями и боковой стороной
d^2 = c^2 + (a-b)^
d^2 = 12^2 + (10-5)^
d^2 = 144 + 2
d^2 = 16
d = 1
Таким образом, длина большей боковой стороны трапеции равна 13.