1.Точка M лежит на стороне AB квадрата ABCD. Расстояния от точки M до прямых AC и BD равны соответственно 1 и 3. Найдите сумму длин диагоналей этого квадрата 2.Найдите площадь параллелограмма,острый угол которого равен 45, а перпендикуляр, опущенный из точки пересечения диагоналей на большую сторону, делит ее на отрезки длины 16см и 6см 3.Основания прямоугольной трапеции равны 10 и 5, а длина меньшей боковой стороны равна 12. Найдите длину большей боковой стороны этой трапеции

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть точка M делит диагональ AC на отрезки с длинами x и 1-x, а диагональ BD на отрезки с длинами y и 3-y. Так как точка M лежит на стороне AB, то x=y.
Теперь по теореме Пифагора для треугольника AMC и треугольника BMD:
x^2 + 1^2 = y^2
y^2 + 3^2 = x^2
Сложим оба уравнения:
x^2 + 1 + y^2 + 9 = 2x^2 + 10
2(y^2) + 10 = 2(x^2)
y^2 + 5 = x^2
Так как x=y, то x^2 + y^2 = 10
А значит, сумма длин диагоналей квадрата равна 10.

Пусть точка пересечения диагоналей параллелограмма равна O. Пусть точка, в которой опущен перпендикуляр на большую сторону, равна M.
Так как угол АОМ равен 45 градусам, то треугольник AOM является прямоугольным. Также, так как MO делит большую сторону на отрезки длины 16 и 6, то AM=16 и OM=6.
Площадь параллелограмма равна произведению длины диагонали на половину расстояния между ее точками.
Используя теорему Пифагора для треугольника AOM, получаем, что длина диагонали OA равна sqrt(16^2 + 6^2) = sqrt(256 + 36) = sqrt(292).
Теперь можно посчитать площадь параллелограмма:
S = sqrt(292) 10 = 10sqrt(292) кв. см.

Пусть основания трапеции равны a=10 и b=5, а меньшая сторона равна c=12. Обозначим большую сторону как d.
Используем теорему Пифагора для треугольника, образованного основаниями и боковой стороной:
d^2 = c^2 + (a-b)^2
d^2 = 12^2 + (10-5)^2
d^2 = 144 + 25
d^2 = 169
d = 13
Таким образом, длина большей боковой стороны трапеции равна 13.