В ромбе острый угол равен альфа, а высота равна h. Найти длины диагоналей ромба

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения задачи воспользуемся теоремой косинусов.

Обозначим длины диагоналей ромба как d1 и d2. Тогда по теореме косинусов:

d1^2 = h^2 + (d2/2)^2 - 2h(d2/2)cos(180 - alpha)
d2^2 = h^2 + (d1/2)^2 - 2h(d1/2)cos(180 - alpha)

Заметим, что в ромбе угол между диагоналями равен 180 градусов, следовательно, cos(180 - alpha) = -cos(alpha).
Также, в ромбе диагонали равны между собой, поэтому d1 = d2 = d.

Исходя из этого, можно записать систему уравнений:

d^2 = h^2 + (d/2)^2 + hdcos(alpha)
d^2 = h^2 + (d/2)^2 - hdcos(alpha)

После упрощения получаем:

4h^2d^2 = 4h^2d^2 -4h^2d^2cos^2(alpha)
0 = 4h^2d^2 - 4h^2d^2cos^2(alpha)
cos^2(alpha) = 1/4
cos(alpha) = 1/2

Таким образом, угол alpha равен 60 градусам. Подставим это значение в одно из уравнений системы:

d^2 = h^2 + (d/2)^2 - hdcos(120)
d^2 = h^2 + (d/2)^2 + h*d/2

Решив это уравнение, получим:

d = √(4h^2 + h^2) = √5h

Таким образом, длины диагоналей ромба равны √5h.