В основание конуса с высотой 6, радиусом основания два корня из трёх и вершиной S вписан равносторонний треугольник ABC. На образующих SB и SC взяты точки M и N соответственно так, что SM/MB=2 и CN/NS=2. Найдите косинус угла ANM

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим сторону треугольника ABC равной а. Так как ABC - равносторонний треугольник, то SABC = 60 градусов.

Так как AM = 2MB и CN = 2NS, то AN = 3AM и СN = 3NS. Поскольку в треугольнике ABC высота делит биссектрису на две части в соотношении h^2 = bc(1 - (a/h)^2), то MN^2 = 16*9 и MN = 12.

Получается, что треугольник ANM - равносторонний и AN = NM. Найдем косинус угла ANM.

cos(ANM) = (AN^2 + NM^2 - AM^2)/(2ANNM) = (3a^2 + 144 - 9a^2)/(2*12a) = (2a^2 + 144)/24a = a/24.

Так как a = 2(sqrt(3)), то cos(ANM) = sqrt(3)/12.