Найдите объем и боковую поверхность конуса, диаметр основания которого равен d, а угол при вершине осевого сечения равен альфа

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Объем конуса можно найти по формуле:
V = (1/3) π r^2 * h,
где r - радиус основания конуса, h - высота конуса.

Так как диаметр основания равен d, то радиус можно найти как половина диаметра:
r = d/2.

Угол при вершине осевого сечения равен α, и зная, что сечение конуса перпендикулярно к направлению, вдоль которого осуществляются измерения углов, острый угол будет прямым, то есть α = 90 градусов.

Тогда, зная, что катеты прямоугольного треугольника r и h связаны соотношением:
tg(α) = r/h,
и подставив значение tg(90) = 1, получаем:
h = r.

Таким образом, высота конуса равна радиусу.

Итак, объем конуса будет:
V = (1/3) π (d/2)^2 (d/2) = (1/3) π (d^2/4) (d/2),
V = (1/3) π (d^3/8),
V = π * d^3 / 24.

Боковая поверхность конуса равна:
S = π r l,
где l - генератриса конуса.

Так как угол α = 90 градусов и катеты r и l равны, то гипотенуза h равна l:
l = h.

Поэтому боковая поверхность конуса равна:
S = π r h = π (d/2) (d/2) = π * d^2 / 4.