Найдите отношение катетов прямоугольного треугольника, если известно, что точка касания вписанной окружности делит гипотенузу в отношении 2:3.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть катеты треугольника равны a и b, а гипотенуза равна c.

Так как точка касания вписанной окружности делит гипотенузу в отношении 2:3, то можно записать, что 2a + 3b = c.

По теореме Пифагора, c^2 = a^2 + b^2.

Так как треугольник прямоугольный, то рассмотрим прямоугольник, вписанный в треугольник с катетами a и b. Площадь этого прямоугольника равна ab. Также площадь этого прямоугольника равна полупериметру треугольника, умноженному на радиус вписанной окружности. Полупериметр треугольника равен (a + b + c)/2, а радиус вписанной окружности равен (a + b - c)/2. Таким образом, ab = ((a + b + c)/2) * ((a + b - c)/2).

Подставляем все выражения в уравнение и получаем: a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab = c^2. Так как c^2 = a^2 + b^2, то (a + b)^2 - 2ab = a^2 + b^2.

Раскрываем скобки и получаем: a^2 + 2ab + b^2 - 2ab = a^2 + b^2. Упрощаем и получаем 2ab = a^2 + b^2.

Теперь можем подставить это выражение в уравнение 2a + 3b = c: 2a + 3b = sqrt(2ab).

Теперь можем выразить один катет через другой: a = 3b/2.

Таким образом, отношение катетов прямоугольного треугольника равно 3:2.