В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 стороны основания равны 2, а боковые ребра равны 4. Найдите угол между прямой АС и плоскостью BCD1

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для того чтобы найти угол между прямой AC и плоскостью BCD1, нужно найти косинус этого угла.

Пусть M - середина стороны BC, тогда AM = BM = CM = DM = 1, а MB1= MC1= MD1= MA1= MS= 2.

Так как в треугольнике AMC угол AMB равен AMB1, угол AMC равен углу A1MC1, и угол A1MB1 равен углу ACB, то эти треугольники равнобедренные. Далее аналогично можно показать, что треугольники ACD и DA1C1 тоже равнобедренные.

Теперь проведем прямую Mx, параллельную BD1, а также N– середину стороны AM. Тогда трапеция BBC1xM равнобедренна и треугольник BMC равнобедренный. Найдя косинус угла между прямой АС и плоскостью BCD1, мы найдем же косинус угла между НМ и Mp, где Mp – плоскость BCD1, а М – середина AC.

Таким образом, косинус искомого угла равен AM/AN = 1/√2 = √2/2. Отсюда, сам угол будет равен arccos(√2/2) = π/4.