Докажите, что четырехугольник ABCD с вершинами А(4;2), В(5;7), С(-3;4), D(-4;-1) – параллелограмм.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для доказательства, что четырехугольник ABCD является параллелограммом, нужно показать, что противоположные стороны параллельны и равны по длине.

Найдем уравнения прямых AB и CD с помощью координат точек A, B, C и D:
AB: (y - 2) = (7 - 2) / (5 - 4) (x - 4)
AB: y = x + 1
CD: (y + 1) = (4 + 1) / (-3 + 4) (x + 4)
CD: y = -x - 8

Из полученных уравнений видно, что AB и CD имеют одинаковый коэффициент наклона, а значит они параллельны.

Найдем уравнения прямых BC и AD в том же порядке:
BC: (y - 7) = (4 - 7) / (-3 - 5) (x - 5)
BC: y = -2x + 17
AD: (y + 1) = (-1 + 2) / (-4 - 4) (x + 4)
AD: y = -2x - 9

Также видно, что BC и AD имеют одинаковый коэффициент наклона, а значит они параллельны.

Таким образом, мы доказали, что все стороны четырехугольника ABCD параллельны.

Теперь проверим, что противоположные стороны равны по длине. Найдем длины сторон AB, BC, CD и AD:
AB = sqrt((5 - 4)^2 + (7 - 2)^2) = sqrt(1 + 25) = sqrt(26)
BC = sqrt((-3 - 5)^2 + (4 - 7)^2) = sqrt(64 + 9) = sqrt(73)
CD = sqrt(-3 + 4)^2 + (4 + 1)^2) = sqrt(1 + 9) = sqrt(10)
AD = sqrt((-4 - 4)^2 + (-1 - 2)^2) = sqrt(64 + 9) = sqrt(73)

Мы видим, что AB = CD и BC = AD, что означает, что противоположные стороны четырехугольника ABCD равны по длине.

Итак, мы доказали, что четырехугольник ABCD с вершинами А(4;2), В(5;7), С(-3;4), D(-4;-1) является параллелограммом.