В правильной четырехугольной пирамиде SABCD через середину бокового ребра SC – точку F – и диагональ основания BD проведено сечение. Найдите отношение объемов фигур, на которые плоскость сечения делит пирамиду.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть точка пересечения сечения и диагонали основания обозначена как O.

Так как точка F – середина ребра SC, то SF = FC. Также, как диагональ основания, BD, проходит через середину бокового ребра SC, то она делится на равные части точкой O, т.е. BO = OD.

Получаем, что треугольники SFO и BOD равны по двум сторонам и углу между ними.

Так как треугольники SFО и BOD равны, то площади этих треугольников тоже равны.

Таким образом, площадь сечения SBO равна площади треугольника SFО.

Отношение объемов фигур, на которые плоскость сечения делит пирамиду, будет равно отношению объема треугольной пирамиды SABO к объему пирамиды SABCD.

Так как объем пирамид пропорциональен площади их основания и высоте, то данное отношение объемов равно отношению высот треугольных пирамид SABO и SABCD, что равно площади фигуры, образованной отрезком BC и плоскостью SCOD к площади фигуры SBCD, что равно соотношению площадей треугольников SFО и BCD.

Таким образом, отношение объемов фигур, на которые плоскость сечения делит пирамиду, равно отношению площади треугольника SFО к площади BCD.