Площадь поверхности правильного тетраэдра 12 корней из 3.Найдите площадь поверхности конуса ,вписанного в этот тетраэдр

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем высоту правильного тетраэдра. Так как правильный тетраэдр состоит из 4 равных равносторонних треугольников, его высота равна (\frac{2}{\sqrt{3}}a), где (a) - длина стороны тетраэдра. Так как площадь поверхности тетраэдра равна (2\sqrt{3}a^2), то длина стороны (a = \sqrt[4]{3}).

Теперь найдем радиус вписанного конуса. Площадь поверхности конуса равна (4\pi r^2), где (r) - радиус конуса. Так как образуемая конусом поверхность является боковой поверхностью тетраэдра, то высота конуса равна (\frac{2}{\sqrt{3}}\sqrt[4]{3}).

Используем формулу для объема конуса (V = \frac{1}{3}\pi r^2 h), где (h) - высота конуса:
[V = \frac{1}{3}\pi r^2 \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}\sqrt[4]{3} = \frac{2}{3}\pi r^2 \sqrt[4]{3}]

Таким образом, площадь поверхности вписанного конуса равна (4\pi r^2 = \frac{3}{2}\sqrt{3}).