К касательной EF окружности с центром в точке О из концов диаметра MN проведены два перпендикулярных отрезка ME и NF. докажите, что точка касания P делит отрезок EF пополам.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения этой задачи воспользуемся свойством касательной, которое гласит, что касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному к точке касания.

Пусть точка касания P делит отрезок EF на две равные части. Обозначим точку пересечения касательной EF с радиусами OM и ON за K и L соответственно. Тогда получаем, что треугольники OMK и ONL являются прямоугольными, так как радиусы перпендикулярны касательной.

Так как мы имеем дело с прямоугольными треугольниками, то получаем, что PE = EK и PF = FL, так как P делит отрезок EF пополам. Также из прямоугольности треугольников следует, что OK = OL, так как OM и ON - радиусы окружности.

Теперь рассмотрим треугольники OPE и OPL. В них соответственно равны углы EOP и LOP, так как это углы касательной к окружности, соответствующие одной дуге. Также у нас есть равные стороны EP и LP, а также равные стороны OP и OP (они равны по определению).

Из равенства противоположных сторон треугольника получаем, что треугольники OPE и OPL равны. А значит, у нас PE = PL и PO - общая сторона.

Таким образом, мы доказали, что точка касания P действительно делит отрезок EF пополам.