Точка K, не принадлежащая плоскости равностороннего треугольника, удалена от каждой его вершины на расстояние (корень 13 см), а от каждой его стороны - на 2 см. Найдите расстояние от точки К до плоскости треугольника.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть точка K удалена от плоскости треугольника на расстояние h. Тогда проведем высоты треугольника из точки K к каждой его стороне.

Так как треугольник равносторонний, то высоты будут являться биссектрисами, медианами и высотами одновременно.

Рассмотрим треугольник, образованный точкой K, вершиной треугольника и точкой пересечения высоты и стороны треугольника. Этот треугольник является равнобедренным, так как у него два равных катета: расстояние от точки K до вершины треугольника (корень 13 см) и расстояние от точки K до стороны треугольника (2 см).

Так как треугольник равносторонний, то угол при основании этого равнобедренного треугольника равен 60 градусов.

Рассмотрим треугольник, образованный точкой K, вершиной треугольника и точкой пересечения высоты и плоскости треугольника. Этот треугольник также является равнобедренным, так как он имеет два равных катета: расстояние от точки K до вершины треугольника (корень 13 см) и h.

Так как угол при вершине равностороннего треугольника равен 60 градусов, то угол при основании равнобедренного треугольника (образованного точкой K, вершиной треугольника и точкой пересечения высоты и плоскости треугольника) также равен 60 градусов.

Таким образом, у нас есть прямоугольный треугольник со сторонами h, корень 13 и tg(60) = sqrt(3). Из этого треугольника, мы можем найти h, используя тригонометрические функции:

tg(60) = h / корень 13
sqrt(3) = h / корень 13
h = sqrt(3) * корень 13 = sqrt(39) см

Итак, расстояние от точки K до плоскости равностороннего треугольника составляет sqrt(39) см.