Даны точки А (–2; 5), В (2; 2), С (10; 0). Пусть AD – биссектриса треугольника АВС. В каком отношении точка D делит сторону ВС?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем уравнения прямых AB и BC, затем найдем уравнение прямой AD. После этого найдем координаты точки D и рассчитаем ее расстояние от точки В, чтобы найти отношение, в котором точка D делит сторону ВС.

Уравнение прямой AB:
Уравнение прямой проходящей через точки A(-2; 5) и B(2; 2) можно найти, используя формулу: y = kx + b, где k - наклон прямой, b - свободный член.

k = (2 - 5) / (2 - (-2)) = -3 / 4
b = 5 - (-3/4) * (-2) = 5 + 3/2 = 13/2

Таким образом, уравнение прямой AB: y = -3x/4 + 13/2

Уравнение прямой BC:
Уравнение прямой проходящей через точки B(2; 2) и C(10; 0):
k = (0 - 2) / (10 - 2) = -1/2
b = 2 - (-1/2)*2 = 3

Уравнение прямой BC: y = -x/2 + 3

Уравнение прямой AD:
Точка D - точка пересечения биссектрисы треугольника АВС с отрезком ВС, значит коэффициент наклона биссектрисы равен k(BC), но с противоположным знаком, то есть k(AD) = 1/2.
Зная уклон и одну точку, мы можем найти b:
5 = 1/2 * (-2) + b
b = 6

Уравнение прямой AD: y = x/2 + 6

Найдем точку D - точку пересечения прямых BC и AD:
Решаем систему уравнений:
y = -x/2 + 3
y = x/2 + 6
-x/2 + 3 = x/2 + 6
3x/2 = -3
x = -2, y = 4

Рассчитаем отношение, в котором точка D делит сторону ВС:
Отрезок ВС (сторона треугольника) равен 10 - 2 = 8
Для нахождения коэффициента отношения используем формулу:
(CD / BD) = (yC - yD) / (yD - yB)
(DC / DB) = (0 - 4) / (4 - 2) = -4 / 2 = -2

Таким образом, точка D делит сторону ВС в отношении 2:4 или 1:2.