Доказать признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету НЕ способом наложения

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Дано: два прямоугольных треугольника ABC и DEF, где AC = DF и AB = DE.

Требуется доказать: ∆ABC ≅ ∆DEF.

Доказательство:

По условию, ABC и DEF - прямоугольные треугольники, значит, их прямые углы будут находиться напротив наименьших сторон, т.е. углы B и E, а также углы C и F.

Так как AC = DF и AB = DE, то отрезки AC и DF соответственно будут гипотенузами в треугольниках ABC и DEF.

По теореме Пифагора для треугольников ABC и DEF:

AC^2 = AB^2 + BC^2 (1)
DF^2 = DE^2 + EF^2 (2)

Так как AC = DF и AB = DE, то из (1) и (2) следует:

DF^2 = AB^2 + BC^2 (3)

Так как ∆ABC и ∆DEF прямоугольные и AC = DF, то по теореме о гипотенузе, гипотенузы прямоугольных треугольников будут равны, а значит, BC = EF.

Подставим BC = EF в (3):

DF^2 = AB^2 + EF^2

Так как AB = DE (по условию), то остается:

DF^2 = DE^2 + EF^2

По теореме Пифагора для треугольника DEF:

DF^2 = DE^2 + EF^2

Получаем, что ∆ABC ≅ ∆DEF по стороне-гипотенузе и катету.