В окружность радиуса 41 вписана трапеция, основания которой равны 18 и 80, причём центр окружности лежит вне трапеции. Найдите высоту этой трапеции.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть высота трапеции равна h. Так как центр окружности лежит вне трапеции, то проведём два отрезка из центра окружности к основаниям трапеции, которые будут радиусами окружности. Таким образом, получим два треугольника: $\triangle AOB$ и $\triangle COD$, где $OA = OB = OC = OD = 41$. Обозначим середину основания трапеции как E.

Поскольку $OE$ -- медиана треугольника $OAB$, мы можем применить теорему о медиане, которая гласит: $4OE^2 = 2(AB^2 + OB^2) - AO^2$. Мы знаем, что $AB = 18$, а $OB = 41$. Таким образом, получаем: $4OE^2 = 2(18^2 + 41^2) - 41^2$. Решив это уравнение, найдем значение $OE = 39$.

Теперь мы можем рассмотреть треугольник $OCD$. Так как он является прямоугольным, то сразу можем записать: $OC^2 = OE^2 + EC^2$. Подставляя известные значения, получаем: $41^2 = 39^2 + EC^2$, откуда $EC = 20$.

Таким образом, высота трапеции равна $2 \cdot EC = 40$.