Высота прямоугольного треугольника делит его на треугольники с периметрами р1 и р2. найдите периметр прямоугольника.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть a и b - катеты прямоугольного треугольника, h - высота, делящая его на треугольники с периметрами p1 и p2.

Так как высота делит треугольник на два подобных, то отношение периметров равно отношению гипотенуз к катету.

p1/p2 = (a+b)/h

Также из подобия треугольников:

p1/(a+h) = p2/h

Решим систему уравнений:

(a+b)/h = p1/p2
p1/(a+h) = p2/h

a+b = (p1h)/p2
p1 = (a+h)p2
a = (p1*h)/p2 - h

Известно, что периметр прямоугольного треугольника равен a + b + sqrt(a^2 + b^2), подставим найденное a и b:

p = ((p1h)/p2 - h) + ((p1h)/p2) + sqrt(((p1*h)/p2)^2 + h^2)

Упростим выражение:

p = (2p1h)/p2 + sqrt((p1^2 h^2)/p2^2 + h^2)
p = (2p1h + p2sqrt(p1^2 * h^2 + h^2))/p2

Таким образом, периметр прямоугольного треугольника равен (2p1h + p2sqrt(p1^2 * h^2 + h^2))/p2.