В треугольнике АВС угол А прямой.Докажите,что прямая АС касается окружности с центром в точке Б и радиусом АВ

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Доказательство:

Поскольку угол А является прямым, то треугольник ABC является прямоугольным. Так как радиус окружности равен длине отрезка АВ, то центр окружности должен находиться на середине отрезка AB.

Пусть O – центр окружности. Тогда О – середина AB, а радиус OA = OB, то есть треугольник ОАВ равнобедренный. Таким образом, углы ОАВ и ОВА равны.

Так как угол А является прямым, то угол ОВА также прямой. А значит, отрезок ОВ – высота треугольника ОАВ, проведенная из вершины О.

Поскольку угол ОВА равен углу ОАВ, то треугольники ОАВ и ОВА подобны.

Из подобия треугольников следует, что отрезок ВС параллелен отрезку ОА и равен ему в два раза. Следовательно, треугольники ВСА и АОВ также подобны.

Из подобия треугольников ВСА и АОВ следует, что угол C равен углу ОВА. Но угол ОВА – прямой. Следовательно, угол C также прямой.

Таким образом, доказано, что прямая AC касается окружности с центром в точке B и радиусом AB.