Решите Y = 1/4 x² - 1/2 In x, 1 ≤ x ≤ 2

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем производную данной функции:

Y' = (1/4)2x - 1/2 (1/x) = x/2 - 1/(2x)

Теперь найдем критические точки функции Y, приравняв производную к нулю:

x/2 - 1/(2x) = 0
x² - 1 = 0
(x - 1)(x + 1) = 0

x = 1 или x = -1

Так как x находится в диапазоне от 1 до 2, то мы выбираем x = 1. Таким образом, критическая точка функции Y при x = 1.

Теперь найдем значения функции в крайних точках интервала [1, 2]:

Y(1) = (1/4)(1)² - 1/2 ln(1) = 1/4 1 - 1/2 0 = 1/4
Y(2) = (1/4)(2)² - 1/2 ln(2) = 1/4 4 - 1/2 ln(2) = 1 - 1/2 * ln(2)

Итак, минимальное значение функции Y на интервале [1, 2] достигается при x = 1 и равно 1/4.