Преобразить выражение[tex] cos ^{2} a \frac{ \tan {}^{2} a - 1}{ \tan ^{2}a + 1 } [/tex]

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала преобразуем выражение:

[tex] \frac{ \tan{}^{2} a - 1}{ \tan^{2}a + 1} = \frac{ \tan{}^{2} a - 1}{ 1 - \tan^{2}a} [/tex]

Пользуемся тригонометрическими тождествами:

[tex] \tan^{2} a = \frac{ \sin{}^{2} a}{ \cos{}^{2} a} [/tex]

[tex] \sin{}^{2} a = 1 - \cos{}^{2} a [/tex]

Подставляем в исходное выражение:

[tex] cos^{2} a \frac{ \tan{}^{2} a - 1}{ \tan^{2} a + 1} = cos^{2} a \frac{ \frac{ \sin{}^{2} a}{ \cos{}^{2} a} - 1}{ \frac{ \sin{}^{2} a}{ \cos{}^{2} a} + 1} = cos^{2} a \frac{ \frac{1 - \cos{}^{2} a}{ \cos{}^{2} a} - 1}{ \frac{1 - \cos{}^{2} a}{ \cos{}^{2} a} + 1} = cos^{2} a \frac{1 - cos{}^{2} a - \cos^{2} a}{1 - cos{}^{2} a + \cos{}^{2} a} = cos^{2} a \frac{1 - 2 cos^{2} a}{1} = 1 - 2 cos^{2} a [/tex]

Итак, выражение [tex] cos^{2} a \frac{ \tan{}^{2} a - 1}{ \tan^{2} a + 1} [/tex] равно [tex] 1 - 2 cos^{2} a [/tex].