Банка имеет форму цилиндра1, полная площадь её поверхности (боковая поверхность и два круга-основания) равна 100 см2. Определите радиус и высоту банки, которая при этих условиях имеет максимальный объём.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим радиус банки как r, а высоту как h.

Площадь поверхности боковой поверхности цилиндра равна 2πrh, а площадь двух кругов-оснований равна 2πr^2. Таким образом, у нас есть уравнение:

2πrh + 2πr^2 = 100

Выразим h через r:

h = (100 - 2πr^2) / (2πr)

Теперь найдем объем цилиндра V, который равен πr^2h:

V = πr^2((100 - 2πr^2) / (2πr)) = (50πr - 2π^2r^3) / 2

Для нахождения максимального объема цилиндра найдем производную от V по r и приравняем ее к нулю:

dV/dr = 50π/2 - 6π^2r^2 = 0

6π^2r^2 = 25π

r^2 = 25/6

r = √(25/6)

r = 5/√6

Теперь найдем соответствующую высоту h:

h = (100 - 2π(25/6)) / (2π(5/√6))

h = (100 - 50/√6) / (10/√6)

h = √6(100 - 50/√6) / 10

h = √6(100√6 - 50) / 10

h = 10(√6)^2 - 5√6 / 10

h = 60 - 5√6

Итак, радиус банки равен 5/√6 см, а высота равна 60 - 5√6 см. Ответ: р = 5/√6 см, h = 60 - 5√6 см.