Найдите наименьшее натуральное n такое, что 2 ^n + 5^n − n делится на 1000. Найдите наименьшее натуральное n такое, что 2 ^n + 5^n − n делится на 1000.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для того чтобы выразить это соотношение в виде формулы, можно воспользоваться малой теоремой Ферма:

Если p — простое число, то a^p ≡ a (mod p).

1000 = 2^3 * 5^3, поэтому нам нужно, чтобы 2^n + 5^n были кратны 2^3 = 8 и 5^3 = 125.

Такая ситуация будет для n = 3, так как 2^3 + 5^3 = 8 + 125 = 133, что делится на 8 и не делится на 125. При n = 4 получится 144, что делится на оба числа. Поэтому наименьшее натуральное n равно 3.