С помощью метода математической индукции докажите утверждение: (1+x) ^n > 1 + nx,
При этом x не равен 0, n >= 2

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

База индукции:
При n = 2 утверждение принимает вид (1+x)^2 > 1 + 2x
Раскрывая скобки получаем: 1 + 2x + x^2 > 1 + 2x
x^2 > 0, так как x не равен 0, следовательно (1+x)^2 > 1 + 2x

Предположение индукции:
Пусть для n = k выполняется неравенство (1+x)^k > 1 + kx

Шаг индукции:
Докажем, что (1+x)^(k+1) > 1 + (k+1)x
Раскроем скобки слева:
(1+x)^(k+1) = (1+x)^k (1+x) > (1 + kx) (1+x) = 1 + kx + x + kx^2
Рассмотрим kx^2 + x > 0:
kx^2 + x > 0
x(kx + 1) > 0
Так как x не равен 0, то kx + 1 должно быть больше 0, что выполняется при любом x.
Получаем, что (1+x)^(k+1) > 1 + (k+1)x

Таким образом, по принципу математической индукции доказано, что (1+x)^n > 1 + nx, при x != 0 и n >= 2.