задачи по Математике На доске написаны четыре числа: 2, 3, 4 и 9. За один шаг можно выбрать любые три из них, первое умножить на 2, второе на 4, а третье на 6 (при этом три старых числа стирают, а на их место записывают три новых). Можно ли через несколько шагов получить 4 равных числа

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Давайте анализировать задачу. У нас есть четыре числа: 2, 3, 4 и 9. На каждом шаге мы выбираем три числа, умножаем их на 2, 4 и 6 соответственно, а затем записываем полученные числа на доске.

Запишем, что происходит с выбранными числами (a), (b), и (c) после операции:

Таким образом, после операции на доске останется следующее три числа: (2a), (4b), (6c), и одно число останется неизменным. Итак, на следующем шаге у нас будет одно число, которое можно выбрать вместе с двумя из новых.

Чтобы понять, возможно ли получить четыре равных числа, проанализируем произведения:

Сначала рассчитаем произведение всех начальных чисел:
[
P = 2 \times 3 \times 4 \times 9 = 216
]

При каждой операции мы сохраняем произведение остатков на доске, т.е. производится замена трех чисел на 2, 4 и 6. Пусть три числа, которые мы убираем, имеют произведение (x), тогда новое произведение будет:
[
P' = 2a \times 4b \times 6c = 48abc
]

Следовательно, каждую итерацию, в зависимости от выбора чисел на предыдущем шаге, мы будем увеличивать произведение на какой-то коэффициент 48, сохраняя делимость от 216 на 48.

Чтобы получить 4 равных числа, пусть это число (k). Тогда общее произведение (k^4) должно совпадать с произведением чисел на доске. Однако, заметим, что 216 имеет факторы (2^3), (3^3) (то есть, для делимости (k^4) по всем 2 и 3).

Простое наблюдение приведет к тому, что мы не сможем получить равные числа, потому что при данных расчетах мы всегда будем уходить от 4 равных чисел, поскольку не сможем фактически уравнять количество 2 и 3, что затрудняет достижение равных чисел.

В заключение, ответ на вопрос: нет, невозможно получить 4 равных числа через такие операции.