Сколько единиц содержится в двоичной записи значения выражения: 8^32 + 4^5-7

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Чтобы вычислить количество единиц в двоичной записи выражения ( 8^{32} + 4^5 - 7 ), сначала мы упростим каждый элемент выражения.

Найдем ( 8^{32} ):
[
8^{32} = (2^3)^{32} = 2^{96}
]

Найдем ( 4^5 ):
[
4^5 = (2^2)^5 = 2^{10}
]

Теперь подставим эти значения в выражение:
[
8^{32} + 4^5 - 7 = 2^{96} + 2^{10} - 7
]

Теперь конвертируем все эти числа в двоичный вид:

( 2^{96} ) в двоичной записи — это 1, за которой следуют 96 нулей:
[
2^{96} = 100000\ldots000 \quad (\text{96 нулей})
]

( 2^{10} ) в двоичной записи — это 1, за которой следуют 10 нулей:
[
2^{10} = 10000000000 \quad (\text{10 нулей})
]

Число 7 в двоичной записи — это:
[
7 = 111
]

Теперь запишем сумму:
[
2^{96} + 2^{10} = 1000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 + 00000000000000000000000000000000000000000000100000000000
]

Когда мы сложим эти два числа, получится:
[
10000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000001000000000000
]
Теперь вычтем 7 (то есть ( 111 )):
[
\begin{array}{c@{}c@{}c@{}c@{}c@{}c@{}c@{}c@{}c@{}c@{}c@{}c@{}c@{}c@{}c@{}c}
& 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \

& & 0 & 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \
\hline
& 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \
\end{array}
]
На самом деле мы вычитаем 111 из 100...010000...000. Результат будет:
[
100000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000001000000010
]

Таким образом, двоичное представление числа будет содержать 1 на позиции 96 и 10, а также 1 на позиции 3, что соответствует количеству единиц.

Теперь подсчитаем единицы:

1 на позиции 96,1 на позиции 10,1 на позиции 2.

Итак, всего 3 единицы в двоичной записи.

Ответ: 3.