Задача по математике Даны координаты вершин пирамиды
A1,A2,A3,A4
Найти: 1) длину ребра A1,A2; 2) угол между ребрами A1,A2 и A1,A4; 3) угол между ребром A1,A4, И гранью A1,A2,A3; 4) площадь грани A1,A2,A3; 5) объём пирамиды; 6) уравнение прямой A1,A2; 7)уравнение плоскости A1,A2,A3; 8) уравнение высоты, опущенной из вершины A4 на грань A1,A2,A3. Сделать чертеж.

A1(-2;-1;-1), A2(0;3;2), A3(3;1;-4), A4 (-1;4;3).

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Решим задачу по шагам.

1) Длина ребра ( A_1A_2 )

Для нахождения длины отрезка ( A_1A_2 ) используем формулу расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве:

[
d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}
]

Подставляем координаты ( A_1(-2;-1;-1) ) и ( A_2(0;3;2) ):

[
d_{A_1A2} = \sqrt{(0 - (-2))^2 + (3 - (-1))^2 + (2 - (-1))^2}
]
[
d{A_1A2} = \sqrt{(2)^2 + (4)^2 + (3)^2}
]
[
d{A_1A_2} = \sqrt{4 + 16 + 9} = \sqrt{29}
]

2) Угол между ребрами ( A_1A_2 ) и ( A_1A_4 )

Для нахождения угла между двумя векторами используем скалярное произведение:

[
\cos \theta = \frac{\vec{A_1A_2} \cdot \vec{A_1A_4}}{|\vec{A_1A_2}| |\vec{A_1A_4}|}
]

Сначала вычислим векторы:

[
\vec{A_1A_2} = (0 + 2, 3 + 1, 2 + 1) = (2, 4, 3)
]
[
\vec{A_1A_4} = (-1 + 2, 4 + 1, 3 + 1) = (1, 5, 4)
]

Теперь найдём скалярное произведение:

[
\vec{A_1A_2} \cdot \vec{A_1A_4} = 2 \cdot 1 + 4 \cdot 5 + 3 \cdot 4 = 2 + 20 + 12 = 34
]

Длину каждого вектора:

[
|\vec{A_1A_2}| = \sqrt{29}
]
[
|\vec{A_1A_4}| = \sqrt{(1)^2 + (5)^2 + (4)^2} = \sqrt{1 + 25 + 16} = \sqrt{42}
]

Теперь подставляем в формулу:

[
\cos \theta = \frac{34}{\sqrt{29} \cdot \sqrt{42}}
]

Находим угол ( \theta ):

[
\theta = \arccos\left(\frac{34}{\sqrt{29 \cdot 42}}\right)
]

3) Угол между ребром ( A_1A_4 ) и гранью ( A_1A_2A_3 )

Для нахождения угла применяем нормальный вектор к плоскости ( A_1A_2A_3 ).

Векторы:

( \vec{A_1A_2} = (2, 4, 3) )( \vec{A_1A_3} = (3 + 2, 1 + 1, -4 + 1) = (5, 2, -3) )

Нормальный вектор ( \vec{n} ):

[
\vec{n} = \vec{A_1A_2} \times \vec{A_1A_3}
]

Вычисляем:

[
\vec{n} = | \begin{array}{ccc}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \
2 & 4 & 3 \
5 & 2 & -3
\end{array} | = (4(-3) - 3(2), 3(5) - 2(-3), 2(2) - 4(5))
]
[
= (-12 - 6, 15 + 6, 4 - 20) = (-18, 21, -16)
]

Теперь угол ( \phi ) между ( \vec{A_1A_4} ) и ( \vec{n} ):

[
\cos \phi = \frac{\vec{A_1A_4} \cdot \vec{n}}{|\vec{A_1A_4}| |\vec{n}|}
]

4) Площадь грани ( A_1A_2A_3 )

Используем формулу полупериметра и площади через векторы:

Определим два вектора в плоскости:

[
\vec{A_1A_2} \quad \text{и} \quad \vec{A_1A_3}
]

Площадь = (\frac{1}{2} |\vec{A_1A_2} \times \vec{A_1A_3}|)

5) Объём пирамиды

Объём = (\frac{1}{3} \cdot \text{Площадь основания} \cdot h), где ( h ) – высота, опущенная из точки ( A_4 ) на основание ( A_1A_2A_3 ).

6) Уравнение прямой ( A_1A_2 )

Используем векторное уравнение:

[
\vec{r}(t) = \vec{A_1} + t(\vec{A_2} - \vec{A_1})
]

7) Уравнение плоскости ( A_1A_2A_3 )

Используем векторное уравнение:

[
\vec{n} \cdot (\vec{r} - \vec{A_1}) = 0
]

8) Уравнение высоты из ( A_4 )

Используем параметрическое уравнение линии, перпендикулярной плоскости:

Чертеж

Для создания чертежа пирамиды вам понадобятся графические инструменты или софт, поддерживающий 3D-моделирование.