Геометния, конус 11класс На каком расстоянии от вершины конуса надо провести плоскость, параллельную основания, чтобы в сечении цилиндра получился круг, площадь которого в 2 раза меньше площади основания?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть (R) - радиус основания конуса, (r) - радиус получившегося круга в сечении цилиндра.

Площадь основания конуса равна (\pi R^2), а площадь получившегося круга равна (\pi r^2). По условию задачи, площадь получившегося круга в 2 раза меньше площади основания:

[\pi R^2 = 2 \pi r^2]

Также из геометрии конуса следует, что аналогичные треугольники рассматриваемого круга и основания конуса подобны. Поэтому отношение радиусов круга и основания равно отношению расстояний от вершины до сечения и до основания. Обозначим расстояние от вершины до сечения за (h) и выпишем соответствующие отношения:

[\frac{r}{R} = \frac{h}{h + R}]

Из данной пропорции находим, что (h = \frac{Rr}{R - r}).

Теперь подставляем (r = \frac{R}{\sqrt{2}}) из уравнения (\pi R^2 = 2 \pi r^2):

[h = \frac{R \cdot \frac{R}{\sqrt{2}}}{R - \frac{R}{\sqrt{2}}} = \frac{R^2}{\sqrt{2}R - R/\sqrt{2}}]

[h = \frac{R^2}{R(\sqrt{2} - 1/\sqrt{2})} = \frac{R}{\sqrt{2} - 1/\sqrt{2}} = \frac{R}{\frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2}}} = R(\sqrt{2} + 1)]

Итак, расстояние от вершины конуса до проведенной плоскости должно быть равно (R(\sqrt{2} + 1)).