Математика. Задача. Условные экстремумы. Из всех прямоугольных параллелепипедов, имеющий данную диагональ, найти тот, объем которого наибольший.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть диагональ прямоугольного параллелепипеда равна d, а его стороны равны a, b и c.

Так как диагональ параллелепипеда равна d, то по теореме Пифагора:
d^2 = a^2 + b^2 + c^2

Также объем прямоугольного параллелепипеда равен:
V = abc

Из условия задачи мы знаем, что сумма квадратов сторон a, b и c должна быть постоянной:
f(a, b, c) = a^2 + b^2 + c^2 - d^2

Найдем экстремум объема параллелепипеда, воспользовавшись методом множителей Лагранжа:

L(a, b, c, λ) = abc + λ(a^2 + b^2 + c^2 - d^2)

Найдем производные функции L по переменным a, b, c и λ, приравняем их к нулю и решим получившуюся систему уравнений:

∂L/∂a = bc + 2aλ = 0
∂L/∂b = ac + 2bλ = 0
∂L/∂c = ab + 2cλ = 0
∂L/∂λ = a^2 + b^2 + c^2 - d^2 = 0

Из первых трех уравнений получаем:
a/b = -1/2λ
b/c = -1/2λ
a/c = -1/2λ

Откуда следует:
a = b = c

Подставляем это значение в уравнение a^2 + b^2 + c^2 - d^2 = 0:
3a^2 - d^2 = 0
a = b = c = d/√3

Таким образом, искомый параллелепипед - куб со стороной d/√3, его объем равен (d/√3)^3 = d^3/3√3