Все члены геометрической прогрессии (tn) — положительные числа. Известно, что сумма первых четырех членов прогрессии равна 105, а t1+t3=35. Найдите знаменатель прогрессии.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть первый член прогрессии равен t, а знаменатель прогрессии равен q.

Тогда члены прогрессии будут равны:
t, tq, tq^2, t*q^3, ...

Из условия, сумма первых четырех членов равна 105:
t + tq + tq^2 + t*q^3 = 105 (1)

Также известно, что t1 + t3 = 35:
t + t*q^2 = 35 (2)

Из уравнения (2) найдем t*q^2 = 35 - t

Подставим это значение в уравнение (1):
t + tq + (35 - t) + tq^3 = 105
t + tq + 35 + tq^3 - t = 105
tq + tq^3 + 35 = 70

tq(1 + q^2) + 35 = 70
tq(1 + q^2) = 35
(35-t)(1+q^2) = 35
35 + 35q^2 - t - tq^2 = 35
35q^2 - tq^2 - t = 0
35q^2 - (35 - t) = 0
35q^2 - 35 + t = 0
35(q^2 - 1) = -t

Так как т и q положительные, t = 35 * (1 - q^2)

Подставим это значение в уравнение (2):
35 (1 - q^2) + 35 (1 - q^2) q^2 = 35
35(1 - q^2 + (1 - q^2) q^2) = 35
35(1 - q^2 + q^2 - q^4) = 35
35(1 - q^4) = 35
35 (1 + q^2)(1 - q^2) = 35
35 (1 + q) (1 - q) = 35
35 (1 - q^2) = 35
35 * 35 = 35
35 = 35

Ответ: знаменатель прогрессии равен 1.