Задача по геометрии В треугольнике ABC площадь равна 30√3, угол A=60°. Проведена окружность с центром на BC
которая касается сторон AB и AC. Радиус этой окружности равен (60√3)/23
Найдит
стороны ABC.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Итак, пусть стороны треугольника ABC равны a, b и c соответственно. Также пусть точка касания окружности с стороной AB обозначается как D, а точка касания с стороной AC - как E.

Так как окружность касается сторон AB и AC, то отрезки AD и AE являются высотами треугольника ABC, опущенными из вершины A.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ADE. Он прямоугольный, так как стороны AB и AC являются касательными, а радиус окружности - перпендикуляром касательной, проведенным к точке касания. Из прямоугольного треугольника ADE можем получить следующие выражения:

AD^2 + DE^2 = AE^2 (1)

AD = c - x

DE = b - x

AE = b + c

Так как площадь треугольника ABC равна 30√3, то по формуле площади прямоугольного треугольника через катеты: S = (1/2)ax, где x - высота, прилегающая к гипотенузе, где а - гипотенуза. Получаем, что

1/2 b (c - x) = 30√3 (2)

А также, учитывая угол A = 60° и радиус окружности, можем записать, что биссектриса угла А перпендикулярна стороне BC, поэтому она разбивает сторону BC на отрезки в пропорциях

BD/CD = AB/AC

Поскольку BD = b - x, CD = c - x, AB = c, AC = b, имеем:

(b - x)/(c - x) = c/b

b^2 - bx = c^2 - cx (3)

Решая систему уравнений (2) и (3) получаем, что a = 10√3, b = 10√3 и c = 10√3.