Шар радиуса R описан вокруг правильной треугольной пирамиды, боковое ребро
которой образует с плоскостью основания угол α. Найдите объем пирамиды.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим сторону основания треугольной пирамиды как a и высоту пирамиды как h. Тогда радиус описанной сферы равен R, а угол между боковым ребром и плоскостью основания α.

Так как треугольная пирамида правильная, то угол между боковым ребром и основанием равен 90 градусов, а высота опущенная из вершины пирамиды на основание является медианой и равна a/2. Поэтому, с помощью теоремы Пифагора, находим, что высота пирамиды равна h = √(R^2 - (a/2)^2)

Теперь объем пирамиды можно найти по формуле:
V = (1/3) S h,
где S - площадь основания.

Площадь основания можно найти, используя формулу для площади равностороннего треугольника:
S = (a^2 * √3) / 4.

Теперь можем выразить объем пирамиды через известные данные:
V = (1/3) ((a^2 √3) / 4) * √(R^2 - (a/2)^2).

Таким образом, объем пирамиды равен V = (a^2 √3 √(R^2 - (a/2)^2)) / 12.