Докажите тождество 2cos^2(п/4-2a)=sin4a+1

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для доказательства данного тождества используем тригонометрические тождества для синуса и косинуса.

По формуле двойного угла для синуса: sin2α = 2sinαcosαПо формуле разности для косинуса: cos(a - b) = cosacosb + sinasinbПо формуле синуса разности: sin(a - b) = sinacosb - cosasinb

Имеем:

2cos^2(π/4 - 2α) = 2cos(π/4 - 2α)cos(π/4 - 2α) = 2(cos(π/4)cos(2α) + sin(π/4)sin(2α))^2
= 2(√(2)/2cos(2α) + √(2)/2sin(2α))^2
= (cos(2α) + sin(2α))^2
= cos^2(2α) + 2cos(2α)sin(2α) + sin^2(2α)
= cos^2(2α) + sin^2(2α) + 2sin(2α)cos(2α)
= sin^2(2α) + 1

Получаем 2cos^2(π/4 - 2α) = sin^2(2α) + 1

С учётом того, что sin(2α) = 2sinαcosα, окончательно получаем:

2cos^2(π/4 - 2α) = sin(4α) + 1

Тождество 2cos^2(π/4 - 2α) = sin(4α) + 1 доказано.