4 + |x| = 0 или |x| - 1 = 0

Рассмотрим первое уравнение:
4 + |x| = 0
|x| = -4 (нет решений, так как модуль числа не может быть отрицательным)

Рассмотрим второе уравнение:
|x| - 1 = 0
|x| = 1
x = 1 или x = -1

Ответ: x = 1, x = -1.