Решить неравенства с помощью графика квадратичной функции: А) х2 –2х –15>0,
Б) – 4х2 –х ≥0,
В) 6х2 + х +1>0,
Г) 9х2 +6х +1<0.
Решая неравенство, показывайте как вы находите нули функции.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

А) Начнем с квадратного уравнения х2 –2х –15=0. Найдем его корни, используя формулу дискриминанта: D = (-2)2 - 41(-15) = 64. Корни уравнения: х1 = (2 + 8)/2 = 5, х2 = (2 – 8)/2 = -3.
Теперь построим график функции y = x2 –2x –15. Находим вершины параболы (минимум/максимум) в точке x = -b/2a = 2/(2*1) = 1. Так как коэффициент при x2 положителен, вершина - это минимум. Точка минимума: (-1, -16). Это значит, что график параболы направлен вверх, и неравенство х2 –2х –15>0 выполняется для x < -3 или x > 5.

Б) Перепишем неравенство в виде -4x(x+1) ≥ 0. Найдем нули функции: x1 = 0, x2 = -1. График функции y = -4x2 –x имеет нули, проходящие через ось x. Таким образом, неравенство выполняется для x ≤ 0 или x ≥ -1.

В) Аналогично предыдущим примерам, найдем нули функции для уравнения 6x2 + x + 1 = 0: D = (-1)2 - 461 = - 23. Так как дискриминант отрицателен, у уравнения нет действительных корней. Решая неравенство 6x2 + x + 1 > 0, используя метод знаков, получаем, что неравенство выполняется для всех значений x.

Г) Найдем корни уравнения 9x2 + 6x + 1 = 0. D = 62 - 491 = 0. Корень уравнения x = -b/2a = -6/(2*9) = -1/3. Поскольку дискриминант равен нулю, у нас есть один корень, и парабола касается оси x. График функции y = 9x2 + 6x + 1 пересекает ось x только в точке -1/3. Исследуя знаки функции, неравенство 9x2 + 6x + 1 < 0 выполняется для -1/3 < x < -1/3.