Линейные дифференциальные уравнения 1)Найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка:
y' + y cos x = sin 2x
2)Решить дифференциальное уравнение первого порядка:
y' - y tgx = ctg x

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

1) Для нахождения общего решения дифференциального уравнения первого порядка y' + y cos x = sin 2x, можно воспользоваться методом вариации постоянной.

Дифференцируем данное уравнение по x:
dy/dx + y' cos x - y sin x = 2 cos 2x
dy/dx + y (cos x - sin x) = 2 cos 2x

Теперь находим общее решение дифференциального уравнения:
dy/dx + y (cos x - sin x) = 2 cos 2x
Уравнение выражено в виде линейного дифференциального уравнения первого порядка, решим его.
Интегрируем обе стороны уравнения:
∫(dy/y) + ∫(cos x - sin x)dx = ∫2 cos 2x dx
ln|y| + sin x + cos x = sin 2x + C
ln|y| = sin 2x - sin x - cos x + C

Теперь найдем y:
y = e^(sin 2x - sin x - cos x + C)
y = e^(sin 2x) e^(- sin x) e^(- cos x) e^C
y = A sin 2x - B sin x - C cos x

Где A, B, C - произвольные постоянные.

2) Дифференциальное уравнение первого порядка y' - y tgx = ctg x можно решить с помощью метода вариации постоянной.

dy/dx - y tgx = ctgx
dy/dx = y tgx + ctgx
dy/dx = ysinx/cosx + c

Теперь решим получившееся уравнение, воспользовавшись методом вариации постоянной.