В равнобедренном треугольнике АВС угол при основании равен 75 гр. Докажите, что высота АН вдвое меньше боковой стороны.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала построим высоту AN, проведя ее из вершины А перпендикулярно к стороне ВС. Обозначим точку пересечения высоты с основанием как М.

Так как треугольник ABC равнобедренный, то углы при основании равны: ∠А = ∠С = 75°.

Также из свойств равнобедренного треугольника следует, что высота AN является биссектрисой вершины А. То есть ∠CAM = ∠BAM.

Теперь рассмотрим два прямоугольных треугольника: AMN и AMB.

В треугольнике AMB:
1) ∠BAM = ∠CAM
2) AB = BC (по условию равнобедренности треугольника ABC)
3) AM - общая сторона треугольников AMB и AMN

Из этих двух треугольников следует, что треугольники AMN и AMB равны по углам и гипотенузе. Тогда стороны этих треугольников будут пропорциональны.

Так как сторона AB = BC, то AN = NC и AM = BM. Также сторона AM будет равна половине стороны AB, то есть AM = BM = AB/2.

Из этого следует, что высота АН вдвое меньше боковой стороны AB.

Таким образом, мы доказали, что высота АН вдвое меньше боковой стороны AB.