Вариант 18 1. Даны векторы a {4; –2; –3}, b {–4; 2; –2}. а) Будут ли коллинеарными векторы c  4a  2b и d  2a  b ? б) Вычислите 2c  3d . 2. А(8; 8; –3), В(–3; 1; –1), С(5; –3; 5). а) Найдите координаты вершины D параллелограмма ABCD. б) На оси ординат найдите точку, равноудаленную от точек В и С. 3. Докажите, что ABCD — ромб, если А(12; 7; 6), В(7; 9; –8), С(–4; –1; –10), D(1; –3; 4). 4. Найдите скалярное произведение a  b , если: a  6, b  3, a;b 150. 5. При каком значении п векторы a {–5п; 4; –3} и b {1; –2; –п} будут перпендикулярными? 6. Найдите угол между векторами a {–4; 1; 1} и b {–1; –1; 0}.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

а) Векторы c = 4a - 2b и d = 2a - b будут коллинеарными, если они коллинеарны между собой, то есть один является кратным другого. Для этого найдем сначала коэффициенты пропорциональности:

4a - 2b = k(2a - b)

Раскроем скобки:

4a - 2b = 2ka - kb

Сравнивая координаты векторов, получаем систему уравнений:

4 = 2k
-2 = -k

Решив данную систему, найдем k:

k = 2

Таким образом, векторы c и d будут коллинеарными.

б) Найдем вектор 2c - 3d:

2c = 8a - 4b = (84 - 4(-4); 8(-2) - 42; 8(-3) - 4(-2)) = (32 + 16; -16 - 8; -24 + 8) = (48; -24; -16)

3d = 3(2a - b) = 3(24 - 2(-2); 3*(-2) - (-2); 3(-3) - 2) = 3(8 + 4; -6 + 2; -9 + 2) = (36; -4; -7)

2c - 3d = (48; -24; -16) - (36; -4; -7) = (48 - 36; -24 + 4; -16 + 7) = (12; -20; -9)

Итак, 2c - 3d = (12; -20; -9).

2.

а) Найдем координаты вершины D параллелограмма ABCD. Для этого сложим координаты вершины C с вектором CB:

D = C + CB = (5; -3; 5) + (-3 - (-3); 1 - (-3); -1 - 5) = (5; -3; 5) + (0; 4; -6) = (5; 1; -1)

Координаты вершины D равны (5; 1; -1).

б) Найдем точку на оси ординат, равноудаленную от точек B и C. Такая точка будет находиться на середине отрезка BC. Найдем середину отрезка по формуле:

M = (B + C) / 2 = ((-3; 1; -1) + (5; -3; 5)) / 2 = (2/2; -2/2; 4/2) = (1; -1; 2)

Итак, точка на оси ординат, равноудаленная от точек B и C, имеет координаты (0; -1; 0).

Для доказательства того, что ABCD - ромб, нужно показать, что все его стороны равны между собой. Посчитаем длины сторон AB, BC, CD, и DA:

AB = sqrt((-3 - 7)^2 + (1 - 9)^2 + (-1 - 8)^2) = sqrt((-10)^2 + (-8)^2 + (-9)^2) = sqrt(100 + 64 + 81) = sqrt(245)
BC = sqrt((5 + 3)^2 + (-3 - 1)^2 + (5 + 1)^2) = sqrt((8)^2 + (-4)^2 + (6)^2) = sqrt(64 + 16 + 36) = sqrt(116)
CD = sqrt((1 + 4)^2 + (-3 + 1)^2 + (4 + 10)^2) = sqrt((5)^2 + (-2)^2 + (14)^2) = sqrt(25 + 4 + 196) = sqrt(225)
DA = sqrt((8 - 12)^2 + (8 - 7)^2 + (-3 - 6)^2) = sqrt((-4)^2 + (1)^2 + (-9)^2) = sqrt(16 + 1 + 81) = sqrt(98)

Получили, что AB = CD = sqrt(245), BC = DA = sqrt(116). Таким образом, ABCD - ромб.

4.

Скалярное произведение векторов a и b равно произведению модулей векторов на косинус угла между ними:

a b = |a| |b| cos(150°) = 6 3 cos(150°) = 18 cos(150°)

cos(150°) = -√3 / 2

a b = 18 (-√3 / 2) = -9√3

Итак, скалярное произведение a * b равно -9√3.

5.

Два вектора a и b перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю:

a b = (-5п 1) + (4 -2) + (-3 -п) = -5п - 8 + 3п = -п - 8

-п - 8 = 0
-п = 8
п = -8

Таким образом, при значении п = -8 векторы a и b будут перпендикулярными.

6.

Угол между векторами a и b равен:

cos(θ) = (a b) / (|a| |b|) = ((-4 -1) + (1 -1) + (1 0)) / (√((-4)^2 + 1^2 + 1^2) √((-1)^2 + (-1)^2 + 0^2)) = (4 - 1 + 0) / (√18 * √2) = 3 / (3√2) = 1 / √2

cos(θ) = 1 / √2
θ = arccos(1 / √2)
θ ≈ 45°

Итак, угол между векторами a и b равен приблизительно 45°.