Хорды AB и CD окружности пересекаются в точке Е. AE:EB=1:3, CD=20, DE=5. Найдите AB.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Поскольку отношение AE к EB равно 1:3, то мы можем выразить AE и EB через общий коэффициент умножения, например, пусть AE = x, тогда EB = 3x.

Так как CE - продолжение DE, мы можем выразить CE через EB: CE = CD - DE = 20 - 5 = 15.

Теперь рассмотрим треугольники ABE и CDE, а именно их соответствующие стороны AE и CE. Они проходят через центр окружности, поэтому угол ACE является центральным углом и равен удвоенному углу ADE. Обозначим угол ADE как α, тогда угол ACE равен 2α.

Так как AE и CE равновелики, угловые сегменты AE и CE также равны. Следовательно, угол BAC равен α. Но тогда угол ACB равен 2α. Таким образом, треугольники ABE и CDE равны по углам и подобны.

Мы можем записать следующее уравнение, основанное на подобии треугольников:
AB / CD = AE / CE

AB / 20 = x / 15

AB = 20 * x / 15

С учетом того, что x = AE = 1/4 AB, получим:
AB = 20 1/4 / 15 = 20 / 60 = 1/3

Итак, AB = 1/3.