Найти прямоугольник данного периметра 2p который вращением вокруг одной из своих сторон образует тело наибольшего объема

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть сторона прямоугольника, вокруг которой он вращается, равна x, а другая сторона равна y. Тогда периметр прямоугольника равен 2p = 2(x + y), откуда x + y = p.

Объем тела, образованного вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон, равен V = x^2 * y.

Используя условие x + y = p, можно представить y = p - x.

Тогда объем можно представить как V = x^2 * (p - x) = px^2 - x^3.

Для нахождения максимума объема найдем производную по x:

dV/dx = 2px - 3x^2.

Приравняем производную к нулю и найдем x:

2px - 3x^2 = 0

x(2p - 3x) = 0

x = 0 или x = 2p/3.

Так как x должен быть положительным, то x = 2p/3.

Тогда y = p - 2p/3 = p/3.

Итак, найденный прямоугольник, при вращении вокруг стороны длиной 2p/3, образует тело наибольшего объема.