Найти общее решение y" + 2y' - 8y = 6e^(-5x) Y" + 2y' - 8y = 6e^(-5x)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения общего решения данного дифференциального уравнения сначала найдем характеристическое уравнение:

r^2 + 2r - 8 = 0

Далее находим корни этого квадратного уравнения:

(r + 4)(r - 2) = 0

r1 = -4, r2 = 2

Таким образом, характеристическое уравнение имеет два различных корня. Теперь можем записать общее решение для однородной части уравнения:

y(t) = c1e^(-4x) + c2e^(2x)

Для нахождения частного решения воспользуемся методом вариации постоянных. Предположим, что частное решение имеет вид y_p = A*e^(-5x), где A - константа.

Подставляем это предположение в исходное уравнение:

25Ae^(-5x) - 10Ae^(-5x) - 8A*e^(-5x) = 6e^(-5x)

7A*e^(-5x) = 6e^(-5x)

Отсюда находим A = 6/7.

Таким образом, частное решение:

y_p = (6/7)*e^(-5x)

Итоговое общее решение исходного уравнения:

y(x) = c1e^(-4x) + c2e^(2x) + (6/7)*e^(-5x), где c1 и c2 - произвольные постоянные.