Найти общее решение y' - (y/(x+1)) = (x+1)e^x Y' - (y/(x+1)) = (x+1)e^x

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Данное дифференциальное уравнение можно решить методом вариации постоянной.

Найдем общее решение однородного уравнения y' - (y/(x+1)) = 0:
y' - (y/(x+1)) = 0
y' = (y/(x+1))
dy/y = dx/(x+1)
ln|y| = ln|x+1| + ln|C|
y = C(x+1)

Теперь найдем частное решение неоднородного уравнения y' - (y/(x+1)) = (x+1)e^x:
Предположим, что общее решение неоднородного уравнения имеет вид y = v(x)(x+1), где v(x) - функция, которую нужно найти.

Подставляем y = v(x)(x+1) в уравнение:
(v'(x)(x+1) + v(x)) - (v(x)(x+1)/(x+1)) = (x+1)e^x
v'(x)(x+1) + v(x) - v(x) = (x+1)e^x
v'(x)(x+1) = (x+1)e^x
v'(x) = e^x
v(x) = ∫e^x dx = e^x + C1

Итоговое частное решение:
y = (e^x + C1)(x+1)

Таким образом, общее решение данного дифференциального уравнения y' - (y/(x+1)) = (x+1)e^x равно y = C(x+1) + (e^x + C1)(x+1), где C и C1 - произвольные постоянные.