Задания по математике (векторы) I. Точки А (–3; 5; –6), В (5; –2; 4), С (0; 4; 3),
D(–6; –3; 0). Найти:
1) координаты AD
2) расстояние между точками B и D
3) координаты середины М отрезка АВ
4)AB*CD
5) угол между векторами AB и CD
6) угол между прямыми AD и ВС
7)(AC+BD)*CB
8)коллинеарны ли векторы AB и CD?(ответ обосновать)
II. Векторы a и b образуют угол 135º, |a|=2, |b|=корень из 2.
Найти |2а-b|

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

1) Координаты вектора AD: (-3 - (-6); 5 - (-3); -6 - 0) = (3; 8; -6)
2) Расстояние между точками B и D: |BD| = √[(5 - (-6))^2 + (-2 - (-3))^2 + (4 - 0)^2] = √[11^2 + 1^2 + 4^2] = √(121 + 1 + 16) = √138
3) Координаты середины М отрезка АВ: ((-3 + 5) / 2; (5 - 2) / 2; (-6 + 4) / 2) = (1; 1.5; -1)
4) ABCD = (-3 - 5) + (5 - (-2)) + (-6 - 4) = -8 + 7 - 10 = -11
5) Угол между векторами AB и CD: cos(θ) = (AB CD) / (|AB| |CD|) = -11 / (√(9 + 25 + 36) √(25 + 4 + 0)) = -11 / (3 5) = -11 / 15, θ = arccos(-11 / 15)
6) Угол между прямыми AD и ВС: Находим векторы AD (-6 - (-3); -3 - 5; 0 - (-6)) = (-3; -8; 6) и BC (5 - 0; -2 - 4; 4 - 3) = (5; -6; 1).
Теперь находим угол между ними по формуле: cos(φ) = (AD BC) / (|AD| |BC|) = (-15 + 48 + 6) / (3√(-3^2 + 8^2 + 6^2) √(5^2 + (-6)^2 + 1^2)) = 39 / (3 5 √139), φ = arccos(39 / (15 √139))
7) (AC+BD)CB = ((0 - (-3); 4 - (-3); 3 - 0) + (5 + 6; -2 + 3; 4 + 0)) (5; -2; 4) = (3; 7; 3) (5; -2; 4) = 35 + 7(-2) + 34 = 15 - 14 + 12 = 13
8) Векторы AB и CD не коллинеарны, так как их векторное произведение не равно нулю. Векторное произведение векторов AB и CD равно: i((5)0 - 4(-3)) - j((5)(-6) - (-3)3) + k(((-2)0 - (-6)*4)) = i(12) - j(-21) + k(24) = (12, -21, 24), это не нулевой вектор.

II. |2a-b| = |2(2, 0) - (1, 1)| = |(4, 0) - (1, 1)| = |(3, -1)| = √(3^2 + (-1)^2) = √10