Ортонормированный базис пространства Как найти ортонормированный базис пространства, порожденного
векторами?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения ортонормированного базиса пространства, порожденного векторами, можно использовать процесс ортогонализации Грама-Шмидта. Этот процесс позволяет преобразовать линейно независимые векторы в ортогональный (попарно перпендикулярные) набор векторов, который затем можно нормировать для получения ортонормированного базиса.

Шаги процесса ортогонализации Грама-Шмидта:

Начните с первого вектора и обозначьте его как v1.Возьмите второй вектор v2 и вычтите из него проекцию на v1, чтобы получить ортогональный вектор к v1. Обозначьте его как u2.Нормализуйте u2, разделив его на его длину, чтобы получить вектор e2, который будет ортонормированным к v1.Продолжайте этот процесс для каждого последующего вектора, вычитая проекции на все предыдущие ортогональные векторы и нормализуя результат.

После завершения ортогонализации векторов можно нормировать каждый вектор, разделив его на его длину, чтобы получить ортонормированный базис.

Пример:
Пусть у нас есть два вектора в трехмерном пространстве:
v1 = (1, 0, 0)
v2 = (1, 1, 0)

После первого шага ортогонализации получаем:
u2 = v2 - proj(v2, v1) = (1, 1, 0) - (1, 0, 0) = (0, 1, 0)

Нормализуем u2:
||u2|| = sqrt(0^2 + 1^2 + 0^2) = 1
e2 = (0, 1, 0) / 1 = (0, 1, 0)

Таким образом, ортонормированный базис в данном примере будет:
e1 = (1, 0, 0)
e2 = (0,1,0)