Решите следующие дифференциальные уравнения для t > 0 y"(t) 4y(t) = 8e^(2t) , y(0)= 0, y'(0)=3.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения данного дифференциального уравнения сначала найдем его характеристическое уравнение:

r^2 - 4 = 0

r^2 = 4

r = ±2

Следовательно, общее решение однородной части уравнения будет иметь вид:

y(t) = c1 e^(2t) + c2 e^(-2t)

Теперь найдем частное решение неоднородной части уравнения в виде y(t) = A * e^(2t), где A - константа, которую нужно найти подстановкой в исходное уравнение:

y"(t) = 4A e^(2t)
4y(t) = 4A e^(2t)

Подставим найденное решение и правую часть уравнения в исходное уравнение:

4A e^(2t) - 4A e^(2t) = 8e^(2t)
0 = 8e^(2t)
0 = 8, что невозможно, значит, мы допустили ошибку при предположении о частном решении в виде y(t) = A e^(2t). Попробуем другое предположение: y(t) = At e^(2t), где A - константа, t - переменная:

y'(t) = 2A t e^(2t) + At 2 e^(2t) = 2At e^(2t) + 2Ate^(2t)
y"(t) = 2A e^(2t) + 2A t 2 e^(2t) + 2Ae^(2t) + 2Ae^(2t) = 2Ae^(2t) + 4Ate^(2t) + 4Ae^(2t) = 2Ae^(2t) + 4A t * e^(2t)

Подставим найденное решение в исходное уравнение:

2Ae^(2t) + 4Ate^(2t) = 8e^(2t)

2Ae^(2t) + 4Ate^(2t) = 8e^(2t)

Сравнивая коэффициенты при одинаковых слагаемых, получаем, что A = 2. Теперь частное решение неоднородной части уравнения имеет вид:

y(t) = 2t * e^(2t)

Итак, общее решение дифференциального уравнения:

y(t) = c1 e^(2t) + c2 e^(-2t) + 2t * e^(2t)

Используя начальные условия y(0)= 0, y'(0)=3, найдем константы c1 и c2:

y(0) = c1 + c2 = 0
c1 + c2 = 0 (1)

y'(0) = 2c1 + 2c2 + 2*0 = 3
2c1 + 2c2 = 3
c1 + c2 = 3/2 (2)

Из уравнений (1) и (2) найдем c1 = 3/4 и c2 = -3/4

Таким образом, искомое решение дифференциального уравнения:

y(t) = (3/4) e^(2t) - (3/4) e^(-2t) + 2t * e^(2t)