Найдите цифру в разряде сотен в десятичном записи числа 2011^2011 Найдите цифру в разряде сотен в десятичном записи числа 2011^2011

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения цифры в разряде сотен в десятичной записи числа 2011^2011 нужно сначала вычислить это число. Однако извлечь корень 2011 из уже огромного числа будет очень сложно и времязатратно. Однако можно применить следующий метод:

Заметим, что в разряде сотен число заканчивается на 00, поэтому для нахождения цифры в этом разряде можно проанализировать остаток от деления числа 2011^2011 на 1000.

Рассмотрим последние три цифры числа 2011. Это 011. Возведенное в степень 2011 остаток от деления этого числа на 1000 будет равен остатку от деления 11^2011 на 1000.

Дальше нам нужно найти периодичность остатков от деления 11^n на 1000. Мы заметим, что остатки от деления чисел 11^n на 1000 начинают повторяться с некоторого момента. Попытайемся найти этот период.

Проведя анализ, можно найти, что период длиной 100 начинается с n=20. Значит, чтобы найти цифру в разряде сотен в десятичной записи числа 2011^2011, нужно найти остаток от деления 2011 на 100 и возвести 11 в эту степень.

Остаток от деления 2011 на 100 равен 11, поэтому нужно найти остаток от деления 11^11 на 1000.

Проведя необходимые вычисления, получим, что 11^11 = 19487171, а остаток от деления этого числа на 1000 равен 171.

Таким образом, цифра в разряде сотен в десятичной записи числа 2011^2011 равна 1.