Исследовать функцию и построить график функции f(x)=x3−x2-x+2 Исследовать функцию и построить график функции f(x)=x3−x2-x+2

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала построим график этой функции. Для этого воспользуемся Python и библиотекой matplotlib.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
def f(x):
return x**3 - x**2 - x + 2
x = np.linspace(-10, 10, 100)
y = f(x)
plt.plot(x, y)
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('f(x)')
plt.title('График функции f(x) = x^3 - x^2 - x + 2')
plt.grid(True)
plt.show()

Построив график функции f(x) = x^3 - x^2 - x + 2, мы видим, что она имеет один экстремум и проходит через точку (0,2).

Теперь исследуем функцию f(x) = x^3 - x^2 - x + 2 на монотонность, четность/нечетность, наличие экстремумов и точек перегиба.

Монотонность:
Для нахождения интервалов монотонности возьмем производную функции f(x) и найдем ее нули:

f'(x) = 3x^2 - 2x - 1 = 0
Дискриминант: D = 2^2 - 43(-1) = 16
x1,2 = (2 ± √16) / (2*3) = (2 ± 4) / 6
x1 = 1, x2 = -1/3

Интервалы монотонности:
1) f(x) убывает на (-∞, -1/3)
2) f(x) возрастает на (-1/3, 1)
3) f(x) убывает на (1, +∞)

Четность/нечетность:
Функция f(x) не обладает ни симметрией относительно начала координат, ни симметрией относительно оси ординат. Таким образом, она не является ни четной, ни нечетной.

Экстремумы:
Точку экстремума можно найти, приравняв производную к нулю и решив уравнение:

f'(x) = 3x^2 - 2x - 1 = 0
x = 1

f(1) = 1^3 - 1^2 - 1 + 2 = 1 - 1 - 1 + 2 = 1
Таким образом, у функции f(x) существует локальный минимум в точке (1, 1).

Точки перегиба:
Точки перегиба определяются равенством нулю второй производной:

f''(x) = 6x - 2
6x - 2 = 0
x = 1/3

f''(1/3) = 6*(1/3) - 2 = 2 - 2 = 0
Таким образом, у функции f(x) есть точка перегиба в точке (1/3, f(1/3)).

В итоге, функция f(x) = x^3 - x^2 - x + 2 является нечетной, имеет монотонное убывание на интервале (-∞, -1/3) и (1, +∞), монотонное возрастание на интервале (-1/3, 1), имеет точку экстремума (1, 1) и точку перегиба (1/3, f(1/3)).