Для нахождения остатка от деления числа (3^{3^{3000}}) на 297, можно воспользоваться теоремой Эйлера.
Сначала находим остаток от деления (3^{3000}) на (\varphi(297)), где (\varphi) – функция Эйлера. Так как 297 = 3 3 3 11, то (\varphi(297) = 297 (1 - \frac{1}{3}) * (1 - \frac{1}{11}) = 162).
Теперь находим остаток от деления 3000 на 162:
3000 = 162 * 18 + 36
Таким образом, (3^{3000} \equiv 3^{36} \pmod{297}).
Теперь находим остаток от деления (3^{36}) на 297:
Для нахождения остатка от деления числа (3^{3^{3000}}) на 297, можно воспользоваться теоремой Эйлера.
Сначала находим остаток от деления (3^{3000}) на (\varphi(297)), где (\varphi) – функция Эйлера. Так как 297 = 3 3 3 11, то (\varphi(297) = 297 (1 - \frac{1}{3}) * (1 - \frac{1}{11}) = 162).
Теперь находим остаток от деления 3000 на 162:
3000 = 162 * 18 + 36
Таким образом, (3^{3000} \equiv 3^{36} \pmod{297}).
Теперь находим остаток от деления (3^{36}) на 297:
(3^{36} = (3^{2})^{18} = 9^{18} = (9^{2})^{9} = 81^{9}).
(81^{9} \pmod{297}) = (81 81 81...* 81) (\pmod{297}) = 21.
Наконец, найдем остаток от деления (3^{21}) на 297 (здесь мы используем свойство того, что (3^3 \equiv 27 \pmod{297})):
(3^{21} = 3^{18} 3^{3} \equiv 1 27 \pmod{297}).
Ответ: искомый остаток равен 27.