Пусть f(x) = |a-3|x^2 +4x+a-8. Найдите, при каких значениях параметра a уравнение f(x) имеет ровно 2 решения причем каждое из этих решений не превосходит единицы.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для того чтобы уравнение f(x) имело ровно 2 решения и каждое из них не превосходило единицы, необходимо, чтобы график функции f(x) пересекалось с осью x в двух точках, таких что значения x в этих точках не превышают 1.

Первым делом найдем точки пересечения с осью x, выполняя f(x) = 0:

|a-3|x^2 +4x+a-8 = 0.

Так как нам нужно, чтобы у уравнения было ровно 2 решения, оно должно иметь дискриминант больше 0. Рассмотрим случаи:

1) Если a ≠ 3, тогда функция f(x) = (a-3)x^2 +4x+a-8. Дискриминант D = 16 - 4(a-3)(a-8) > 0. Решая неравенство, получим:

16 - 4(a-3)(a-8) > 0,
16 - 4(a^2 - 11a + 24) > 0,
16 - 4a^2 + 44a - 96 > 0,
-4a^2 + 44a - 80 > 0,
a^2 - 11a + 20 < 0,
(a-1)(a-20) < 0.

Значит, a лежит в интервале (1, 20).

2) Если a = 3, тогда функция f(x) = 4x-8. Это уравнение имеет одно решение при x=2, что входит в наше условие, так как x не превышает 1.

Итак, при значениях параметра a из интервала (1, 20) и при a=3 уравнение f(x) имеет ровно 2 решения, причем каждое из них не превосходит единицы.