Каков вычет функции sin(1/z) / (1-z) в точке z=0 ?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для вычисления вычета функции sin(1/z) / (1-z) в точке z=0 нужно разложить данную функцию в ряд Лорана в окрестности точки z=0.

sin(1/z) = 1/z - (1/(3!z^3)) + (1/(5!z^5)) - ...

1/(1-z) = 1 + z + z^2 + z^3 + ...

Теперь вычислим произведение этих двух рядов:

(sin(1/z) / (1-z)) = (1/z - (1/(3!z^3)) + (1/(5!z^5)) - ...) (1 + z + z^2 + z^3 + ...)
= (1/z + z - (1/(3!z^2)) + (1/(3!z^2)) + (1/(5!z^3)) - ...) + ...

Вычет функции sin(1/z) / (1-z) в точке z=0 равен коэффициенту при 1/z, который равен 1.

Итак, вычет функции sin(1/z) / (1-z) в точке z=0 равен 1.