Решите задачу по геометрии пж В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С вписана окружность с
центром О, касающаяся его сторон ВС, АС и АВ в точках Р, Q, R соответственно.
Известны длины катетов: АС = 4, ВС = 3.
а) Доказать, что AO ∙ BO ∙ CO = 10
б) Найдите площадь треугольника PQR

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

а) Поскольку окружность вписана в треугольник ABC, то точка О - это точка пересечения трех биссектрис углов треугольника.
Проведем высоты треугольника ABC из вершин А и В. Так как треугольник прямоугольный, то эти высоты также будут являться медианами и угловыми биссектрисами.
Обозначим точку пересечения биссектрис треугольника ABC буквой K. Тогда треугольник AKC также будет прямоугольным, так как AK и CK - медианы и биссектрисы этого треугольника.
Теперь рассмотрим треугольник KOB. По теореме о биссектрисе угла в треугольнике, AKC/CK = AB/BC. А значит, AK/CK = 4/3. Так как треугольник AKC прямоугольный, то AK = CK√2.
Таким образом, получаем, что OA = OB = OC = AK√2.
Теперь вычислим площадь треугольника ABC по формуле S = 1/2 AB BC = 1/2 3 4 = 6.
По формуле Герона найдем радиус вписанной окружности: p = S = 6, где p - полупериметр треугольника ABC. r = S/p = 6/6 = 1.
Теперь найдем площадь треугольника PQR. Площадь треугольника ABC равна сумме площадей треугольников APR, BQR и CQP.
Так как площадь треугольника равна произведению радиуса окружности, вписанной в него, на полупериметр треугольника, то S(PQR) = r p = 16 = 6.

б) Площадь треугольника PQR равна 6.